天才和疯子互相为邻

「TOKIOMARINE2020E」O(rand)

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$Link$

给你一个长度为 $n$ 的非负整数序列 $a$，保证其中的数两两不同。求从中选择 $1\sim k$ 个数，使得这些数与起来等于 $s$，或起来等于 $t$ 的方案数。

$1\le n\le50,0\le a_i,s,t<2^{18},\forall i\not=j,a_i\not=a_j$。

设一个数的第 $i$ 个二进制位为 $x_i’$。

对于每一个二进制位：

  • 如果 $s’_i=0,t’_i=0$，那么所有 $a’_i=1$ 的数就没有用了。
  • 如果 $s’_i=1,t’_i=1$，那么所有 $a’_i=0$ 的数就没有用了。
  • 如果 $s’_i=1,t’_i=0$，问题无解。

剩下只要考虑 $s’_i=0,t’_i=1$ 的位了，这意味着必须分别选至少一个 $a’_i=0$ 和 $a’_i=1$ 的数。

转换一下，我们把这些位置标 $1$，其它位置标 $0$，得到状态 $S$，答案就是对于 $S$ 的子集这些位全选 $0$ 或者全选 $1$ 的方案数，乘上容斥系数求和。

对上述的方案数再转换一下，就变成从 $a_i&x$ 中选取 $1\sim k$ 个相等的数的方案数。

那只需要预处理组合数，开个桶做就好了。时间复杂度 $O(2^{18}n)$。

$code$

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#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
    int f = 1, x = 0;
    char ch;

    do{
        ch = getchar();
        if (ch == '-')
            f = -1;
    }while(ch < '0' || ch > '9');
    do{
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }while(ch >= '0' && ch <= '9');
    return f * x;
}
const int N = 50;

int n, k, s, t, S, sum;
int pow2[18];
int a[N + 1], buc[1 << 18];
ll f[N + 1][N + 1], C[N + 1];
ll ans;

inline void init()
{
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        f[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1];
    }
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int j = 1; j <= i && j <= k; j++)
            C[i] += f[i][j];
    for (int i = N; i >= 1; i--)
        C[i] -= C[i - 1];
    return;
}
int main()
{
    n = read();
    k = read();
    s = read();
    t = read();
    init();
    pow2[0] = 1;
    for (int i = 1; i < 18; i++)
        pow2[i] = 2 * pow2[i - 1];
    for (int i = 0; i < 18; i++) {
        if (t & pow2[i] && !(s & pow2[i])) {
            S |= pow2[i];
            sum++;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        a[i] = read();
        for (int j = 0; j < 18; j++) {
            if (s & pow2[j] && !(a[i] & pow2[j])) {
                i--;
                n--;
                continue;
            }
            if (!(t & pow2[j]) && a[i] & pow2[j]) {
                i--;
                n--;
                continue;
            }
        }
    }
    if (!n) {
        printf("0\n");
        return 0;
    }

    while (true) {
        ll per = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            per += C[++buc[a[i] & S]];
        if (sum & 1)
            ans -= per;
        else
            ans += per;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            buc[a[i] & S] = 0;
        if (!S)
            break;
        S = (S - 1) & (s ^ t);
        sum = 0;
        for (int i = 0; i < 18; i++)
            if (S & pow2[i])
                sum++;
    }

    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}