$Link$
有一个 $n$ 个点的无向图，对于每个点给出一个 $p_i$，表示 $i$ 和 $p_i$ 要在同一个联通分量内。
现在有一些点的 $p_i=-1$，表示还不确定。现在你要对于每种可能求出满足条件的最小的边数的和。
对 $10^9+7$ 取模。
$2\le N\le5000,p_i\not=i$。
下文我们设有 $k$ 个点 $p_i=-1$。
最小的边数实际上就是点数 $-$ 环数。
显然如果我们把 $i$ 向 $p_i$ 连边，形成的是一棵由树和基环内向树构成的森林。
对于基环内向树，显然对于 $(n-1)^k$ 种方案它都对答案有一个环的贡献。
对于树，注意到只有根节点向外一条边还未确定，而这条边如果连到了基环树上就不会产生环了。
唯一会产生环的只有 $a$ 树连向 $b$ 树 $\cdots$ 再连向 $a$ 树，这样形成了一个环。
那我们设有 $m$ 棵树，每棵树的大小为 $sz_i$，选出了 $x_1,x_2,\cdots,x_p$ 连成了一个环。
那么方案数就是 $(p-1)!\prod_{i=1}^{p}sz_{x_i}$。
前半部分表示这 $p$ 棵树按什么顺序顺次连接，后半部分则是连接每棵树的哪个点，按照乘法原理乘起来。
剩下的 $m-p$ 棵树随便连，这个环的贡献都存在。所以最后对答案的贡献要再乘上一个 $(n-1)^{m-p}$。
使用简单 $dp$，对于每个 $p$ 计算 $\sum\prod_{i=1}^{p}sz_{x_i}$ 即可。
要注意 $p=1$ 时相当于根向自己这棵树连边形成了一个环，由于不能连向自己所以要减掉一点东西。
时间复杂度 $O(n^2)$。
$code$
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| #include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
using namespace std;
inline int read()
{
int f = 1, x = 0;
char ch;
do{
ch = getchar();
if (ch == '-')
f = -1;
}while(ch < '0' || ch > '9');
do{
x = x * 10 + ch - '0';
ch = getchar();
}while(ch >= '0' && ch <= '9');
return f * x;
}
const int N = 5e3;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, sum;
int p[N + 1];
namespace dsu
{
int fa[N + 1], sz[N + 1], type[N + 1];
inline void init()
{
for (int i = 1; i <= n; i++) {
fa[i] = i;
sz[i] = 1;
}
return;
}
inline int gfa(int x)
{
if (x != fa[x])
fa[x] = gfa(fa[x]);
return fa[x];
}
inline void merge(int x, int y)
{
x = gfa(x);
y = gfa(y);
if (x == y)
return;
if (sz[x] < sz[y])
swap(x, y);
fa[y] = x;
sz[x] += sz[y];
return;
}
}
int type[N + 1], sz1[N + 1], sz[N + 1], tot;
int f[N + 1][N + 1], fac[N + 1];
int ans;
inline int pow(int x, int y)
{
int ans = 1;
while (y) {
if (y & 1)
ans = 1ll * ans * x % mod;
x = 1ll * x * x % mod;
y >>= 1;
}
return ans;
}
inline void dp()
{
f[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= sum; i++) {
f[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= i; j++)
f[i][j] = (f[i - 1][j] + 1ll * f[i - 1][j - 1] * sz[i] % mod) % mod;
}
return;
}
int main()
{
n = read();
dsu::init();
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
p[i] = read();
if (p[i] != -1)
dsu::merge(i, p[i]);
else
sum++;
fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int root = dsu::gfa(i);
sz1[root]++;
if (p[i] == -1)
type[root] = 1;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (!sz1[i])
continue;
if (!type[i])
ans = (ans + pow(n - 1, sum)) % mod;
else
sz[++tot] = sz1[i];
}
dp();
f[sum][1] -= sum;
for (int i = 1; i <= sum; i++)
ans = (ans + 1ll * f[sum][i] * fac[i - 1] % mod * pow(n - 1, sum - i) % mod) % mod;
printf("%d\n", (1ll * n * pow(n - 1, sum) % mod - ans + mod) % mod);
return 0;
}
|